Функция фильтрационного сопротивления в условиях неустановившегося притока жидкости (газа) к несовершенной скважине

Министерство общего и профессионального образования РФ

Рассмотрим функция (F) которая есть функция пяти параметров F=F (f₀, r_c, h, x , t*), каждый из которых — безразмерная величина, соответственно равная

(1)

где r — радиус наблюдения;

x — коэффициент пьезопроводности;

h — мощность пласта;

b — мощность вскрытого пласта;

z — координата;

Уравнение, описывающее изменение давления на забое, т. е. при x =h; r=r_c или r=r_c, имеет вид

где (3)

здесь Q — дебит;

m — коэффициент вязкости;

k — коэффициент проницаемости.

Аналитическое выражение F для определения изменения давления на забое скважины запишем в виде

Уравнение (2) в приведенном виде не может использоваться для решения инженерных задач по следующим причинам: во-первых, функция (4) сложна и требует табулирования; во-вторых, вид функции исключает возможность выделить время в качестве слагаемого и свести решение уравнения (2) к уравнению прямой для интерпретации кривых восстановления (понижения) давления в скважинах традиционными методами. Чтобы избежать этого, можно поступить следующим образом.

В нефтепромысловом деле при гидродинамических исследованиях скважин широко используется интегрально-показательная функция. Несовершенство по степени вскрытия пласта в этом случае учитывается введением дополнительных фильтрационных сопротивлений (C₁), взятых из решения задач для установившегося притока. В соответствии с этим уравнение притока записывается в виде

Как видно, дополнительные фильтрационные сопротивления являются функцией геометрии пласта. Насколько верно допущение о возможности использования значений C₁(r_с, h), пока еще ни теоретически, ни экспериментально не доказано.

Для неустановившегося притока уравнение (2) запишем аналогично в виде двух слагаемых, где в отличие от выражения (5) значения фильтрационных сопротивлений являются функцией трех параметров (r_с, h, f₀)

Как _ видим, дополнительное слагаемое R(r_c , h, f₀) в уравнении (6) зависит не только от геометрии пласта, но и от параметра Фурье (f₀). В дальнейшем будем называть это слагаемое функцией фильтрационного сопротивления. Заметим, что при h=l (скважина совершенная по степени вскрытия) уравнение (2) представляет собой интегрально-показательную функцию

(10)

Численное значение R(r_с,h,fo) рассчитано по уравнению (10) на ЭВМ в широком диапазоне изменения параметров r_c, h, f₀. Интеграл (2) вычислялся методом Гаусса, оценка его сходимости выполнена согласно работе [3]. С учетом равенства (7) вычисления дополнительно проконтролированы по значениям интегрально-показательной функции.

1. Определим поведение D р в зависимости от значений параметров r_с, h, f₀.

Результаты расчетов значений депрессии для каждого фиксированного r_c сведены в таблицы, каждая из которых представляет собой матрицу размером 10х15. Элементы матрицы это значения депрессии D p(r_c) для фиксированных h и f₀. Матрица построена таким образом, что каждый ее столбец есть численное значение депрессии в зависимости от h, .а каждая строка соответствует численному значению депрессии в зависимости от fo (табл. 1). Таким образом, осуществлен переход от значений безразмерной депрессии D p(r_c, h, f₀) к относительной депрессии

D р*_i,j (r_c).

Для удобства построения и иллюстрации графических зависимостей выполнена нормировка матрицы. С этой целью каждый элемент i-й строки матрицы поделен на максимальное значение депрессии в данной строке, что соответствует значению j==15. Тогда элементы новой матрицы определятся выражением

(12)

Рис. 1. Поведение относительной депрессии (r_c=0,0200, h_i=const, f₀) при значениях h, равных: 1— 0,1; 2 — 0,3; 3—0,5; 4 — 0.7; 5 —0,9; 6—1,0.

где k_i — угловой коэффициент прямой, который определяется h и от индекса j не зависит.

Анализ зависимости поведения депрессии D p^*_i,j от f₀ для всех r_c >0,01 показывает, что графики этой зависимости можно описать уравнением пучка прямых для любого значения h. Для r_c< 0,01 в графиках зависимости появляются начальные нелинейные участки, переходящие при дальнейшем уменьшении параметра f₀ (или же при увеличении его обратной величины 1/f_oj) в прямые для всех значений h<l,0

(рис. 2). При h=l,0 поведение депрессии строго линейно. Кроме того, протяженность нелинейного участка для разных r_c при h=const различна. И чем меньше значение безразмерного радиуса r_c , тем больше протяженность нелинейного участка (рис. 2).

2. Определим поведение R(r_c, h, f₀) и ее зависимость от безразмерных параметров r_c, h, f₀.

Значения R(r_c, h, f₀) рассчитаны для тех же величин параметров r_c, h, f₀. которые указаны в пункте 1, обработка результатов также аналогична. Переход от безразмерной функции сопротивления R(r_c, h, f₀) к относительной R^*_i,j (r_c) осуществлен согласно выражению

Анализ поведения R^*_i,j (r_c) и результаты обработки расчетного материала, где установлена ее зависимость от параметров r_c, h, f₀, частично приведены на рис, 2 (кривые даны пунктиром).

При г_c >0,01 для любого h_i R^*_i,j (r_c) уже не зависит от f_0i .

Из анализа данных расчета и графиков рис. 2 следует: при r_c<0,01 в поведении R^*_i,j (r_c) для всех h<l,0 наблюдается нелинейный участок, переходящий с некоторого значения f₀ (точка С на графике) в прямую линию, параллельную оси абсцисс. Важно отметить,

что для одного и того же значения r_c абсцисса точки перехода нелинейного участка в линейный для R^*_i,j (r_c) имеет то же самое значение, что и абсцисса точек перехода для графиков зависимости D p^*_i,j (r_c) от ln(l/f_0i ) (линия CD). Начиная с этого момента, R^*_i,j (r_c) для данного r_c при дальнейшем наблюдении зависит не от времени, а только от h_i • И чем выше степень вскрытия, т. е. чем совершеннее скважина,. тем меньше будет значение R^*_i,j (r_c) И при h=l (скважина совершенная по степени вскрытия) функция сопротивления равна нулю. Очевидно, нелинейность D p^*_i,j (r_c) связана с характером поведения функции сопротивления, которая, в свою очередь, зависит от параметра Фурье. Отметим также, что в точке С (рис. 2) численное значение функции сопротивления становится равным значению фильтрационных сопротивлений (C₁(r_c, h)) для притока установившегося режима.

Рис. 2. Поведение относительной депрессии и относительной функции фильтрационного сопротивления (r_c=0,0014, h=const, f₀) при h, равных: 1,1'—0,1; 2,2'— 0,3; 3,3'—0,5; 4,4'—0,7; 5,5'— 0,9; 6,6'— 1,0.

1. Депрессия на забое несовершенной по степени вскрытия скважины для всех r_c < 0,01 имеет два явно выраженных закона изменения: а) нелинейный, который обусловлен зависимостью функции сопротивления от времени и соответствует неустановившемуся притоку сжимаемой жидкости (газа); б) линейный, который соответствует квазиустановившемуся притоку и не связан с функцией сопротивления.

2. Величина R(r_c, h, f₀) для неустановившегося притока качественно описывает С₁(r_c, h) для установившегося, и ее численное значение при любом вскрытии пласта всегда меньше численного значения С₁(r_c, h) при установившемся притоке.

3. Полученное аналитическое решение для неустановившегося притока сжимаемой жидкости (газа) к несовершенной скважине в бесконечном по протяженности пласте преобразовано в прямолинейную анаморфозу, которая позволяет эффективно интерпретировать кривые восстановления забойного давления.

4. Выбор fo, дающего значения D p^*_i,j(r_c)=1, не влияет на протяженность нелинейного участка, соответствующего неустановившемуся движению, на графики зависимости D p^*_i,j(r_c) от ln(1/f_0i).

1. Т е л к о в В. А. Приток к точечному стоку в пространстве и к линии стоков в полу бесконечном пласте. НТС. Вып. 30, Уфа, 1975.

Дата добавления: 13.11.2000