Число пи четверками
Джон Конуэй, Майкл Гай
Разрешены символы 
и 
, обычные обозначения для корней 
и 
, степени, факториалы и десятичные обозначения 
и 
. Само число 
, логарифмические и тригонометрические функции можно не использовать. Факториалы используются только для натуральных чисел, иначе 
. Мы также не разрешаем использовать таких монстров, как 
.
Например,
очень хорошее приближение 
, и ясно, что его можно модифицировать так, чтобы оно было настолько точным, насколько мы этого хотим. Более того, его можно улучшить так, чтобы использовались только три четверки, поскольку 
при 
.
Мы можем вывести похожие “точные’’ формулы для различных чисел, нам интересных. Так, 
, так что можно получить последовательность приближений 
и 
(например, 
или 
). В нашем лучшем результате такого вида для 
используется семь четверок, и он выведен из формулы
.
Также можно записать 
с помощью семи четверок, но мы еще не можем найти формулу такого вида для константы Эйлера 
.
Сейчас мы покажем, что все это не является необходимым. Действительно, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Любое вещественное число может быть сколь угодно точно приближено, используя четыре 
-ки и обычные действия.
Доказательство. Из формулы
следует, что для достаточно больших 
,
поскольку предел этого выражения при 
равен 
и 
. Пусть теперь 
натуральное число, и 
, 
и 
положительны, так что мы можем записать выражение, приведенное выше, как
где индексы у корня обозначают количество повторений квадратного корня. Извлекая квадратный корень 
раз, получаем
.
Теперь мы можем взять 
в виде 
, так что будут выполняться все указанные выше условия, и выражение между знаками меньше будет содержать только четыре 
-ки. Так как числа 
для целых 
и натуральных 
плотны в множестве положительных вещественных чисел, то теорема доказана. Для отрицательных чисел нужно просто добавить знак “минус’’.
Теорема 2. Если разрешить использование знака целой части, то любое целое число представимо с помощью четырех четверок, а любое вещественное число — с помощью пяти.
Доказательство. Первая часть теоремы очевидна, а вторая становится следствием первой, если заметить, что любое рациональное число 
равно 
для подходящих целых значений 
и 
.
Теоремы 1 и 2 могут быть доказаны для любых натуральных чисел, не только для четверок. Есть единственное ограничение, что единицами могут быть не более трех из этих чисел.
Остаются вопросы:
1. Существует ли “точная’’ формула для 
с менее, чем семью четверками?
2. Существует ли какая-либо точная формула для 
?
3. Являются ли числа 
плотными на множестве 
?
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://hijos.ru/
Дата добавления: 02.03.2013
