Статистическая проверка гипотез

Курсовая работа по дисциплине: «Статистика»

Выполнил: ст. гр.МНЖ-31

Саратовский государственный технический университет

Саратов 2010

Введение

Под статистической гипотезой понимается всякое высказывание о виде неизвестного распределения, или параметрах генеральной совокупности известных распределений, или о независимости выборок, которое можно проверить статистически, то есть опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.

Использование гипотез необходимо для развития любой отрасли науки: биологии, медицины, техники и др. В экономике сфера применения статистических гипотез ограничена. Это объясняется тем, что в естественных науках можно организовать эксперимент в виде случайной бесповторной выборки, в которой отдельные наблюдения стохастически независимы. В экономике строгое выполнение этого условия порой невозможно.

В результате выполнения курсовой работы получаются практические навыки определения характеристик случайной выборки и установления нормальности распределения случайной величины при заданном уровне значимости.

Нормальное распределение наиболее часто встречается в задачах управленческой и маркетинговой деятельности. Таким образом, предлагаемая курсовая работа содержит часть инструментария, необходимого современному экономисту и руководителю.

Условие задачи

Дано статистическое распределение выборки:

хi	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
ni	5	13	20+(m+n)	30-(m+n)	19	10	3

Где xi – результаты измерений, ni- частоты, с которыми встречаются значения xi . xi=0, 2*m+0, 3*(i-1)*n.

Методом произведений найти выборочные: среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Построить нормальную кривую.

Проверить гипотезу о нормальности Х при уровне значимости α=0, 05.

Решение задачи

1 Найдем методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Воспользуемся методом произведений, для чего составляем таб.1

m=3; n=4.

хi	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
ni	5	13	27	23	19	10	3

xi=0, 2*m+0, 3*(i-1)*n.

x1=0, 2*3+0, 3*(1-1)*4=0, 6

x2=0, 2*3+0, 3*(2-1)*4=1, 8

x3=0, 2*3+0, 3*(3-1)*4=3

x4=0, 2*3+0, 3*(4-1)*4=4, 2

x5=0, 2*3+0, 3*(5-1)*4=5, 4

x6=0, 2*3+0, 3*(6-1)*4=6, 6

x7=0, 2*3+0, 3*(7-1)*4=7, 8

хi	ni	ui	niui	niui2	ni (ui+1)2
0, 6	5	-2	-10	20	5
1, 8	13	-1	-13	13	0
3	27	0	0	0	27
4, 2	23	1	23	23	92
5, 4	19	2	38	76	171
6, 6	10	3	30	90	160
7, 8	3	4	12	48	75
	n=∑ni=100		∑niui=80	∑ niui2=280	∑ ni (ui+1)2=530

В качестве ложного нуля принимаем С=3 – варианта с наибольшей частотой 27. Шаг выборки h=x2-x1=1, 8-0, 6=1, 2. Тогда условные варианты определяем по формуле:

==

Подсчитываем условные варианты ui и заполняем все столбцы.

Последний столбец служит для контроля вычислений по тождеству:

∑ ni (ui+1)2=∑ niui2+2∑ niui+n.

Контроль: 530=270+2*80+100.

Вычисления произведены верно. Найдем условные моменты.

M1*===0, 8; M2*===2, 8.

Вычисляем выборочную среднюю:

=M1* * h + C= 0, 8*1, 2+3=3, 96

Находим выборочную дисперсию:

dB= [ M2*- (M1*)2]* h2= [2, 8 - (0, 8)2]*1, 22=3, 1

Определим выборочное среднее квадратическое отклонение:

σB===1, 76

2 Строим нормальную кривую.

Для облегчения вычислений все расчеты сводим в таб.2

xi	ni	xi=xi−3, 96	ui==		ni'=68, 18*φ(ui)
0, 6	5	-3, 36	-1, 90	0, 0656	4
1, 8	13	-2, 16	-1, 22	0, 1895	13
3	27	-0, 96	-0, 54	0, 3448	24
4, 2	23	0, 24	0, 13	0, 3918	28
5, 4	19	1, 44	0, 81	0, 2637	20
6, 6	10	2, 64	1, 50	0, 1295	9
7, 8	3	3, 84	2, 18	0, 0371	2
	100				n==100

Заполняем первые три столбца.

В четвертом столбце записываем условные варианты по формуле, указанной в «шапке» таблицы. В пятом столбце находим значения функции:

Функции φ(ui) четная, т.е. φ(ui)= φ(-ui).

Значения функции φ(ui) в зависимости от аргумента ui (берутся положительные ui, т.к. функция φ(ui) четная) находим из таблицы.

Теоретические частоты теоретической кривой находим по формуле:

=φ(ui)=68, 18*φ(ui)

И заполняем последний столбец. Отметим, что в последнем столбце частоты  округляются до целого числа и .

В системе координат  строим нормальную (теоретическую) кривую по выравнивающим частотам  (они отмечены кружками) и полигон наблюдаемых частот (они отмечены крестиками). Полигон наблюдаемых частот построен в системе координат .

3 Проверим гипотезу о нормальности Х при уровне значимости α=0, 05.

Вычислим , для чего составим расчетную таблицу 3.

ni
5	4	1	1	0, 25	25	6, 25
13	13	0	0	0	169	13
27	24	3	9	0, 38	729	30, 38
23	28	-5	25	0, 89	529	18, 89
19	20	-1	1	0, 05	361	18, 05
10	9	1	1	0, 11	100	11, 11
3	2	1	1	0, 5	9	4, 5
100	100			X2наиб=2, 18		102, 18

 

Суммируя числа пятого столбца, получаем X2наиб=2, 18

Суммируя числа последнего столбца, получаем 102, 18.

Контроль: X2наиб=2, 18

∑−∑ni =102, 18−100= 2, 18

Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариантов) 7. , где s- число различных значений xi.  , т.е r=2.υ = s−2=>υ = 7−2−1=4

По таблице критических точек распределения х2, по уровню значимости α=0, 05 и числу степеней свободы ν=4 находим 9, 5.

Так как  то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, расхождение эмпирических и теоретических частот незначимое. Следовательно, данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Найдем доверительный интервал для оценки неизвестного МО М(Х), пологая, что Х имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение σ=σx=σB=1, 76 и доверительная вероятность γ=0, 95.

Известен объем выборки: n=100, выборочная средняя  

3, 96.

Из соотношения 2Ф(t)= γ получим Ф(t)=0, 475. По таблице находим параметр t=1, 96.

Найдем точность оценки

δ = = =0, 34

Доверительный интервал таков:

Или 3, 96-0, 34<M(X)<3, 96+0, 34 3, 62<M(X)<4, 3.

Надежность γ=0, 95 указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определят такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/

Дата добавления: 05.10.2011