• Новости
  • Темы
    • Экономика
    • Здоровье
    • Авто
    • Наука и техника
    • Недвижимость
    • Туризм
    • Спорт
    • Кино
    • Музыка
    • Стиль
  • Спецпроекты
  • Телевидение
  • Знания
    • Энциклопедия
    • Библия
    • Коран
    • История
    • Книги
    • Наука
    • Детям
    • КМ школа
    • Школьный клуб
    • Рефераты
    • Праздники
    • Гороскопы
    • Рецепты
  • Сервисы
    • Погода
    • Курсы валют
    • ТВ-программа
    • Перевод единиц
    • Таблица Менделеева
    • Разница во времени
Ограничение по возрасту 12
KM.RU
Рефераты
Главная → Рефераты → Математика, физика, астрономия
  • Новости
  • В России
  • В мире
  • Экономика
  • Наука и техника
  • Недвижимость
  • Авто
  • Туризм
  • Здоровье
  • Спорт
  • Музыка
  • Кино
  • Стиль
  • Телевидение
  • Спецпроекты
  • Книги
  • Telegram-канал

Поиск по рефератам и авторским статьям

Пределы и производные

Пределы и производные

Предел.

Число А наз-ся пределом последоват-ти Xn если для любого числа Е>0, сколь угодно малого, $ N0, такое что при всех n>N0 будет выполн-ся нер-во |Xn-A|<E. limn®¥Xn=A. –E<Xn-A<E => A-E<Xn<A+E.

Число А явл-ся пределом послед-ти Xn, если для любой Е-окрестности (.)А сущ-ет конкретное число N0, для кот. любые точки >N0 попадают в Е-окрестность (.)А.

Св-ва послед-ти, имеющей предел:

1.если послед-ть имеет предел, то он единственный.

Док-во: предп, что пределы различны: lim Xn=a, lim Xn=b (n®¥), тогда |a-b|=|a-Xn+Xn-b|. Из lim Xn=a (n®¥) => " E/2 $ N1 "n>N1 |a-Xn|<E/2 Из lim Xn=b (n®¥) => " E/2 $ N2 "n>N2 |Xn-и|<E/2 N0=max(N1;N2), n>N0. |a-b|=|a-Xn+Xn-b|£|a-Xn|+|Xn-b|<E/2+E/2=E => |a-b|=0 => a=b.

2.теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Док-во: 1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N2 |Xn-a|<E, a-E<Xn<a+E. 2. Из $ lim Yn=a (n®¥) => n>N3, a-E<Yn<a+E. 3. N0=max(N1,N2,N3). При всех n>N0 Xn³Zn³Yn. a+E>Xn³Zn³Yn>a-E =>  lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N0, n>N0, |Xn|<E.

Свойства б.м. величин:

1.Сумма б.м. величин есть величина б.м.

Док-во: из Xn – б.м. => " E/2 $N1, n>N1 |Xn|<E/2

из Yn–б.м.=>" E/2 $N2, n>N2 |Yn|<E/2, N0=max(N1,N2), N>N0, |Xn±Yn|£|Xn|+|Yn|<E/2+E/2=E => lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => " E/K $N0 n>N0 |Yn|<E/K.

|Xn*Yn|=|Xn||Yn|<K*E/K=E

3.Достаточный признак существования предела переменной величины: если переменная величина Xn имеет конечный предел А, то эту переменную величину можно представить в виде суммы этого числа А и б.м. величины. $ lim Xn=a (n®¥) => Xn=a+Yn, Yn – б.м.

Док-во: Из lim Xn=a (n®¥) => "E $N0 n>N0 |Xn-a|<E

Xn-a=Yn – б.м. => Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N0, n>N0, |Xn|>M => M<Xn<-M. lim Xn=¥ (n®¥).

Свойства б.б. величин:

1.Произведение б.б. величин есть величина б.б.

из Xn – б.б. =>"M $N1, n>N1 |Xn|>M

из Yn – б.б. => "M $ N2, n>N2 |Yn|>M

N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M

Lim XnYn=¥ (n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N0, n>N0 |Xn|>M =>n>N0.

|Yn|=1/|Xn|<1/M=E =>Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Основные теоремы о пределах:

lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥)

Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn;

Xn ± Yn = (a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥).

limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥).

lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) =>   lim Xn/Yn =   

(lim Xn)/(lim Yn) = a/b.

Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban-abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥).

Пределы ф-ии непрерывного аргумента.

Число А наз-ся пределом ф-ии y=f(x) при х®x0, если для любого Е>0 сколь угодно малого сущ-ет такое число d>0, что при "x будет выпол |x-x0|<d, будет выполняться нер-во |f(x) – A|<E или "x выпол x0-d<x<x+d=> A-E<f(x)<A+E.

Lim x®x0 f(x)=A

Ф-ия y=f(x) наз-ся бесконечно большой при x®x0 если для "М>0 сколь угодно большого $ d>0, что "x |x-x0|<d будет выполняться нер-во |f(x)|>M, "x  x0-d<x<x0+d, -M>f(x)>M.

Lim f(x)=¥ (x®x0).

Число А наз-ся пределом y=f(x) x®¥, если для любого Е>0 можно найти число К, "x |x|>K |f(x)-A|<E.

I замечательный предел.

Рассмотрим окр-ть радиуса 1; обозн угол МОВ через Х.

Sтреуг МОА< Sсект МОА<Sтреуг СОА.

SтреугМОА=0,5ОА*МВ=0,5*1*sin=0.5sinX.

SсектМОА=0,5*ОА*АМ=0,5*1*х=0,5х.

SтреугСОА=0,5*ОА*АС=0,5*1*tgX=0,5tgX.

SinX<x<tgX {разделим все члены на sinX}

1<x/sinX<1/cosX или 1>(sinX)/x>cosX.

Lim cosX=1, lim 1=1 (x®0) =>lim (sinX)/x=1.

Следствия:

1. limx®0(tgX)/x=lim(sinX)/x*1/cosX=

=lim(sinX)/x*lim (1/cosX)=1; 

2.limx®0(arcsinX)/x={arcsinX=t,sint=x,t®0}=

=limt®0t/sint=1;

3. limx®0 (sin ax)/bx = lim (aSin ax)/(ax)b=

=a/b limax®0(sin ax)/ax=a/b.

II замечательный предел.

limn®¥(1+1/n)n=?

Бином Ньютона: (a+b)n=an+nan-1b+(n(n-1)an-2b2)/2!+... +(n(n-1)(n-2)(n-3)an-4b4)/4!+...+bn.

(1+1/n)n=1+n1/n+n(n-1)/2!n2+n(n-1)(n-2)/3!n3+...+1/nn= =2+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+1/4!(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+...+1/nn={послед-ть возрастающая}< 2+0.5(1-1/n) +1/22(1-1/n)(1-2/n)+1/23(1-1/n)(1-2/n)(1-3/n)+1/2n < 2+0.5+1/22+1/23+...+1/2n =2+0.5(1-1/2n)/(1-0.5)=2+1-1/2n=3-1/2n <3.

2£(1+1/n)n<3 => $ limn®¥(1+1/n)n=e.

Следствия:

1.limx®+¥(1+1/x)x=e. Док-во: n£x£n+1 =>1/n³1/x³1/(n+1), 1/n+1 ³ (1/x)+1 ³ 1/(n+1) + 1, (1/n+1)x³(1/x+1)x³(1+1/(n+1))x

(1/n+1)n+1³(1+1/x)x³(1+1/(n+1))n limn®¥(1+1/n)n(1+1/n)=e*1=e,·  limn®¥(1+1/(n+1))n+1*1/(1+1/(n+1))=e*1/1=e => $limx®+¥(1+1/x)x=e.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0). limf(x)=f(x0)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $limx®x0-0f(x) $limx®x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx®x0-f(x)=limx®x0+f(x);

4. limx®x0±f(x)=f(x0).

Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род

Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность)  y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.

Док-во (суммы): По определению получ limх®х0f1(x)=f1(x0) и limх®х0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать: limх®х0у(х)=limх®х0[f1(x)+f2(x) ]=

=limх®х0f1(x)+limх®х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная фун.· 

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Непрерывности на заданном промежутке

Ф-ия наз-ся непрерывной на пром-ке (a;b), если она непрерывн в кажд т-ке этого пром-ка.

Свойства(small):

1. достиг наиб и наим значения; 2. если м и М – наиб и наим знач-ия, то она достиг любые значения м<y<М; 3. если на заданном пром-ке есть хотя бы одна т-ка в кот ф-ия отрицат, то $ x0 на [a;b], f(x0)=0.

Св-ва непрерывности на заданном промежутке(full):

1.Еслифун y=f(x) непрерывна на некотором отрезке [а,в] (а<х<в), то на отрезке [а,в] найдется по крайней мере одна точка х=х1 такая, что значение фун в этой точке будут удовл соот-ю f(x1)³f(x), то значение фун в этой точке наз наибольшим знач фун y=f(x); и найдется по крайней мере такая точка х2, что значения фун в этой точке будут удовл соот-ю

f(x2)£ f(x), то знач фун в этой точке наз наименьшим значением фун y=f(x).

2.Пусть фун y=f(x) непрерывна на отрезке [а,в] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, тогда м/у точками а и в найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой фун обращается в нуль: f(с)=0, а<с<в.

3.Пусть фун y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [а,в]. Если на концах этого отрезка фун принимает значения f(а)=А, f(в)=В, то каово бы ни было число m, заключенное м/у А и В, найдется такая точка х=с, заключ м/у а и в, что f(с)=m.

Производная.

1.Пусть y=f(x), xÎX, x0; x0+Dx ÎX => Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0), Dy/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx.

Если $ limDx®0Dy/Dx, то этот предел наз-ся производн ф-ии в т-ке Х0. · Если f(x) имеет производ в кажд т-ке xÎX, то мы можем брать прозвол Х, считая его фиксир, х+DхÎХ. LimDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx= =f/(х)=df(x)/dx=dy/dx=y|(x).

2. Геометр смысл производ.

Производная фун f(x) в точке х0 равна угловому коэф-ту касательной к гр-ку фун f(x) в точке М (х0;f(x0)).

Если т-ка М будет приближ-ся к т-ке М0 (при Dх®0), то секущая приближ-ся к касат.

y|(x0)=limDх®0(f(x0+Dx)-f(x0))/ /Dx=limDх®0Dy/Dx=limDх®0tga==lima®a0tga=tga0.

L: y-f(x0)=f\(x0)(x-x0)

Nl=y-f(x0)=-(x-x0)/f\(x0).

3. Основ теоремы о производных.

1. y=U(x)+V(x), y|=U|(x)+ V|(x). Док-во: для х+Dх имеем: y+Dy=(u+Du)+(v+Dv). Следовательно, Dy=Du+Dv, Dy/Dx=Du/Dx+Dv/Dx, y|=limDx®0Dy/Dx = limDx®0Du/Dx+ limDx®0Dv/Dx=U|(x)+V/(x).

2. y=uv, y|=u|v+uv|. Док-во: y+Dy=(u+Du)(v+Dv), Dy=(u+Du)(v+Dv)-uv=Duv+uDv+DuDv, Dy/Dx=Duv/Dx+Dvu/Dx+DuDv/Dx,

y|= limDx®0Dy/Dx= limDx®0Duv/Dx + limDx®0Dvu/Dx + limDx®0DuDv/Dx={ limDx®0Du=0, т.к ф-ия дифф-ма и непрерывна}=u|v+uv|.

3. y=u/v, y|=(u|v-uv|)/v2. Док-во: y+Dy=(u+Du)/(v+Dv), Dy=(u+Du)/(v+Dv)-u/v=(vDu-uDv)/v(v+Dv)

Dy/Dx...

4. y=ax, y|=axln a. Док-во: ln y=x ln a, y|/y=ln a, y|=yln a y|=axln a.

Неявно задан фун и нахождение ее производ.

Говорят, что соот-е F(x;y)=0 задается неявно, если сущ фун у=f(x), х принадлежит отрезку [а,в] и, если подстав-е в F(x;y)=0 соот-е обращает его в тождество(º)· {F(x;y)=0,$у=f(x),х принадлежит отрезку [а,в],F(x;f(x)) º0}

Правило нахождения: Если F(x;y)=0 задает фцн неявно, т.е это будет тождество, то тождественное равенство можно по членно продифференцировать. {[F(x;y)]/=0/}

Формула Лейбница.

y(n)=(uv)(n)=(u)(n)v+nu(n-1)v|+([n(n-1)]/[1*2])*n(n-2)v||+…+uv(n)

Дифференцирование ф-ии в  точке.

Ф-ия y=f(x) наз-ся дифференцируемой в т-ке Х0, если Dy=ADx+O(Dx), где А не зависит от DХ, О(DХ) – б.м., более высокого порядка малости, чем DХ, когда DХ®0, т.е. limDx®0O(Dx)/Dx=0. АDХ – главная часть приращения.

Теорема: y=f(x) дифф-ма в т-ке Х0 т и тт, когда она в этой т-ке имеет конечную производную A=f\(x0).

Необход усл-ие дифф-ти: если ф-ия дифф-ма, то она имеет кон производ. Дано: Dy=ADx+O(Dx)

f\(x0)=limDx®0Dy/Dx= limDx®0[(ADx+O(Dx))/Dx] = limDx®0(A+O(Dx)/Dx)=A => Dy=f\(x0)Dx+O(Dx) => limDx®0Dy=0 => f(x) – непрерывна.

Достат усл-ие дифф-ти: если ф-ия в заданной т-ке имеет кон производ, то она дифф-ма. Дано: $f\(x0) – число, f\(x0)=limDx®0Dy/Dx => Dy/Dx=f\(x0)+a(Dx) {a(Dч) – б.м.}, Dy=f\(x0)Dx+a(Dx)Dx => Dy=f\(x0)Dx+O(Dx), т.е. O(Dx)=a(Dx)Dx => limDx®0O(Dx)/Dx=limDx®0a(Dx)=0. Дифференциал ф-ии это главная часть приращения, линейная относит DХ.

Приближ знач ф-ии в некот т-ке: Dy=f(x0+Dx)-f(x0) =>f(x0+Dx)=f(x0)+Dy»f(x0)+df(x0)=f(x0)+f\(x0)dx, dx=Dx.

Непрерывность.

-фун. y=f(x) наз. непрерывной в точке х0, если сущ. предел фун. y=f(x) при х®х0 равный значению фун f(x0). limf(x)=f(x0)

Условия:

1. f(x) – опред ф-ия; 2. $limx®x0-0f(x) $limx®x0+0 f(x) – конечные пределы; 3. limx®x0-f(x)=limx®x0+f(x);

4. limx®x0±f(x)=f(x0).

Если Х0 т-ка разрыва и выполн усл-ие 2, то Х0 – 1 род

Если Х0 – 1 род и выполн усл-ие 3, то разрыв устран.

Если Х0 т-ка разрыва и не вып усл-ие 2, то Х0 – 2род.

Св-ва непрерывности в точке:

1.Если фун f1(x) и f2(x) непрерывны в точке х0, то сумма (разность)  y(х)=f1(x)±f2(x), произведение у(х)=f1(x)*f2(x), а также отношение этих фун у(х)=f1(x)/f2(x), есть непрерывная фун в точке х0.

Док-во (суммы): По определению получ limх®х0f1(x)=f1(x0) и limх®х0f2(x)=f2(x0) на основании св-ва1 можем написать: limх®х0у(х)=limх®х0[f1(x)+f2(x) ]=

=limх®х0f1(x)+limх®х0f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=у(х0). Итак сумма есть непрерывная фун.· 

2.Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

3.Если фун z=j(х) непрерывна в точке х=х0, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х0), то фун y=f(j(х)) непрерывна в точке х0.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале.

Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в).

Бесконечно малая последовательность

Последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел . Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер , что для всех , c номерами справедливо неравенство . Неравенство , эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер , что все c номерами , расположены между и . Последовательность, предел которой конечное число , называется сходящейся и ее предел обозначают . Если изобразить элементы последовательности на плоскости точками с координатами , то неравенства означают, что все точки с номерами расположены между параллельными оси абсцисс прямыми и .

f(x)

f(x)

f(x)

C

0

cosx

-sinx

x

1

lnx

1/x

tgx

1/cos2x

xn

nxn-1

ax

axlna

arcsina

1/(2)

arccosa

-

1/x

-1 / x2

sinx

cosx

arctgx

1/(1+x2)

Производная


Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точкиx. Пусть
Dx- приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или Df приращение функции, равное f(x+Dx)–f(x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Dx соответствует бесконечно малое приращение функции Df.

Отношение Df/Dx, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y=f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Представим себе процесс, в котором величина Dx, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y=f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах Dx её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y=f(x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции.

Отношение Dy/Dx или, что то же самое (f(x+Dx)-f(x))/Dx, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента Dx. Эта функция не определена в точке Dx=0. Однако её предел в этой точке может существовать.

Если существует предел отношения (f(x+Dx)–f(x))/Dx в точке Dx=0, то он называется производной функции y=f(x) в точке x и обозначается y¢ илиf¢(x):

  
Нахождение производной функции y=f(x) называется дифференцированием.

Если для любого числа x из открытого промежутка (a,b) можно вычислить f¢(x), то функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (a,b).

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
Производная - это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f
¢(x)»Df/Dx, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше Dx. Производная f¢(x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между Df  и Dx.Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке.

 
Так функция y=
êxê не имеет производной в точке x=0, хотя является непрерывной в этой точке.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций.. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке. . Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке.

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.stydent.od.ua/

Дата добавления: 18.05.2004

База рефератов на портале KM.RU существует с 1999 года. Она пополнялась не только готовыми рефератами, докладами, курсовыми, но и авторскими публикациями, чтобы учащиеся могли использовать их и цитировать при самостоятельном написании работ.


Это популяризирует авторские исследования и научные изыскания, что и является целью работы истинного ученого или публициста. Таким образом, наша база - электронная библиотека, созданная в помощь студентам и школьникам.


Уважаемые авторы! Если Вы все же возражаете против размещения Вашей публикации или хотите внести коррективы, напишите нам на почту info@corp.km.ru, мы незамедлительно выполним Вашу просьбу или требование.


официальный сайт © ООО «КМ онлайн», 1999-2025 О проекте ·Все проекты ·Выходные данные ·Контакты ·Реклама
]]>
]]>
Сетевое издание KM.RU. Свидетельство о регистрации Эл № ФС 77 – 41842.
Мнения авторов опубликованных материалов могут не совпадать с позицией редакции.

Мультипортал KM.RU: актуальные новости, авторские материалы, блоги и комментарии, фото- и видеорепортажи, почта, энциклопедии, погода, доллар, евро, рефераты, телепрограмма, развлечения.

Карта сайта


Подписывайтесь на наш Telegram-канал и будьте в курсе последних событий.


Организации, запрещенные на территории Российской Федерации
Telegram Logo

Используя наш cайт, Вы даете согласие на обработку файлов cookie. Если Вы не хотите, чтобы Ваши данные обрабатывались, необходимо установить специальные настройки в браузере или покинуть сайт.