Правильные многогранники или тела Платона
Платону принадлежит разработка некоторых важных методологических проблем математического познания: аксиоматическое построение математики, исследование отношений между математическими методами и диалектикой, анализ основных форм математического знания. Так, процесс доказательства необходимо связывает набор доказанных положений в систему, в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения. Тот факт, что начала математических наук "суть предположения", может вызвать сомнение в истинности всех последующих построений. Платон считал такое сомнение необоснованным. Согласно его объяснению, хотя сами математические науки, "пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности и не могут дать для них основания", предположения находят основания посредством диалектики. Платон высказал и ряд других положений, оказавшихся плодотворными для развития математики. Так, в диалоге "Пир" выдвигается понятие предела; идея выступает здесь как предел становления вещи.
Тела Платона — это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они — правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Таблица № 1
|
Название |
Число ребер при вершине |
Число сторон грани |
Число граней |
Число ребер |
Число вершин |
|
Тетраэдр |
3 |
3 |
4 |
6 |
4 |
|
Куб |
3 |
4 |
6 |
12 |
8 |
|
Октаэдр |
4 |
3 |
8 |
12 |
6 |
|
Додекаэдр |
3 |
5 |
12 |
30 |
20 |
|
Икосаэдр |
5 |
3 |
20 |
30 |
12 |
Таблица № 2
|
Название |
Радиус описанной сферы |
Радиус вписанной сферы |
Объем |
|
Тетраэдр |
а\/6 4 |
a\/6 12 |
a 3 \/2 12 |
|
Куб |
а\/3 2 |
a 2 |
a 3 |
|
Октаэдр |
а\/2 2 |
a\/6 6 |
a 3 \/2 12 |
|
Додекаэдр |
a 4 \/18+6\/5 |
1 2 25+11\/5 10 |
a 3 4 (15+7\/5) |
|
Икосаэдр |
a 12(3+\/5)\/3 |
5 12 a 3 (3+\/5) |
Тетраэдр — четырехгранник, все грани которого треугольники, т. е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников.
Куб или правильный гексаэдр — правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами.
Октаэдр — восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников.
Додекаэдр — двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников.
Икосаэдр — двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников.
Куб и октаэдр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен, ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют также платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр — огонь, куб — землю, икосаэдр — воду и октаэдр — воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание. Его по латыни стали называть quinta essentia (“пятая сущность”). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб-монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр-монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KalSO) 2*12 H2O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр, нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.
Список литературы
Советская Энциклопедия. — М., 1979.
Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская Энциклопедия, 1988.
Математика: Школьная энциклопедия.// Гл. ред. С. М. Никольский. — М.: Научное издательство “Большая Российская энциклопедия”, 1996. — 527 с.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.matematika-r.info/
Дата добавления: 05.06.2008
