• Новости
  • Темы
    • Экономика
    • Здоровье
    • Авто
    • Наука и техника
    • Недвижимость
    • Туризм
    • Спорт
    • Кино
    • Музыка
    • Стиль
  • Спецпроекты
  • Телевидение
  • Знания
    • Энциклопедия
    • Библия
    • Коран
    • История
    • Книги
    • Наука
    • Детям
    • КМ школа
    • Школьный клуб
    • Рефераты
    • Праздники
    • Гороскопы
    • Рецепты
  • Сервисы
    • Погода
    • Курсы валют
    • ТВ-программа
    • Перевод единиц
    • Таблица Менделеева
    • Разница во времени
Ограничение по возрасту 12
KM.RU
Рефераты
Главная → Рефераты → Математика, физика, астрономия
  • Новости
  • В России
  • В мире
  • Экономика
  • Наука и техника
  • Недвижимость
  • Авто
  • Туризм
  • Здоровье
  • Спорт
  • Музыка
  • Кино
  • Стиль
  • Телевидение
  • Спецпроекты
  • Книги
  • Telegram-канал

Поиск по рефератам и авторским статьям

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a1, a2, ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

 a1 + a2 + ... + an

n

 >

n



 a1 a2 ... an

 .

(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:

(Sn ) n > a1 a2 ... an .

(2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an.

(3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство

 b

 b – a

b

 <

∫

 dt

t

 = ln

 b

a

 <

 b – a

a

 ,

 a

(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

 b – a

b

 = ln

 b

a

 =

 b – a

a

 .

Из (3) и (4)

 Sn – a1

Sn

 +

 Sn – a2

Sn

 + ... +

 Sn – ak

Sn

 ≤ ln

 Sn

a1

 + ln

 Sn

a1

 + ... + ln

 Sn

ak

 ,

(5)

или

 kSn – (a1 + a2 + ... + ak)

Sn

 ≤ ln

 (Sn)k

a1 a2 ... ak

 .

(6)

Опять-таки из (3) и (4)

ln

 ak+1

Sn

 + ln

 ak+2

Sn

 + ... + ln

 an

Sn

 ≤

 ak+1 – Sn

Sn

 +

 ak+2 – Sn

Sn

 + ... +

 an – Sn

Sn

 ,

(7)

или

ln

 ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

 ≤

 (ak+1 + ... + an) – (n – k)Sn

Sn

 .

(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

ln

 ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

 ≤ ln

 (Sn)k

a1 a2 ... ak

 .

(9)

Поскольку среди чисел a1, a2, ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

ln

 ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

 < ln

 (Sn)k

a1 a2 ... ak

 ,

или

 ak+1 ak+2 ... an

(Sn) n–k

 <

 (Sn)k

a1 a2 ... ak

 ,

откуда вытекает (2).

Если же a1 = a2 = ... = an, то, очевидно,

 a1 + a2 + ... + an

n

 =

n



 a1 a2 ... an

 .

Список литературы

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ega-math.narod.ru/

Дата добавления: 29.12.2007

База рефератов на портале KM.RU существует с 1999 года. Она пополнялась не только готовыми рефератами, докладами, курсовыми, но и авторскими публикациями, чтобы учащиеся могли использовать их и цитировать при самостоятельном написании работ.


Это популяризирует авторские исследования и научные изыскания, что и является целью работы истинного ученого или публициста. Таким образом, наша база - электронная библиотека, созданная в помощь студентам и школьникам.


Уважаемые авторы! Если Вы все же возражаете против размещения Вашей публикации или хотите внести коррективы, напишите нам на почту info@corp.km.ru, мы незамедлительно выполним Вашу просьбу или требование.


официальный сайт © ООО «КМ онлайн», 1999-2025 О проекте ·Все проекты ·Выходные данные ·Контакты ·Реклама
]]>
]]>
Сетевое издание KM.RU. Свидетельство о регистрации Эл № ФС 77 – 41842.
Мнения авторов опубликованных материалов могут не совпадать с позицией редакции.

Мультипортал KM.RU: актуальные новости, авторские материалы, блоги и комментарии, фото- и видеорепортажи, почта, энциклопедии, погода, доллар, евро, рефераты, телепрограмма, развлечения.

Карта сайта


Подписывайтесь на наш Telegram-канал и будьте в курсе последних событий.


Организации, запрещенные на территории Российской Федерации
Telegram Logo

Используя наш cайт, Вы даете согласие на обработку файлов cookie. Если Вы не хотите, чтобы Ваши данные обрабатывались, необходимо установить специальные настройки в браузере или покинуть сайт.