Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области
Краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области
Введение
В ряде случаев оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.
1.Постановка задачи
В дипломной работе рассматривается задача:
(З)
0
.
Требуется привести пример оценки решения задачи (З) в области 
, и исследовать полученную оценку при 
2. Оценочный анализ решения задачи.
Оценка решения задачи (З) основывается на принципе максимума для уравнения теплопроводности : “Всякое решение уравнения 
в прямоугольнике 
, непрерывное вплоть до границы, принимает свои наибольшее и наименьшее значения на нижних или на боковых его границах” [2].
2.1. Оценка решения сверху.
В области t=t , x=
рассмотрим решение задачи :
, V(0,x) = 
(
x ), 
, (1)
это решение имеет вид [1]:
v (t, x) = 
. (2)
Зафиксируем некоторое 
и перейдем к исходной системе координат, тогда (2) в системе t=t, x=
будет выглядеть так:
V(t, x) = 
(2’)
Из принципа максимума [2] заключаем, что:
U( t, x ) 
V( t, x ). (3)
Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).
2.2. Оценка решения в виде интеграла
Разобьем интервал 
< x 
на две части 
и 
,
тогда интеграл (2’) запишется в виде:
V( t, x ) = 
. (*)
Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то что 
:
; (а)
;
;
где 
.
После проведенного исследования видно, что
Использовав известное разложение 
,
где Z 
0, 
, заменим экспоненты во втором интеграле рядами:
(а) 
;
(б) 
.
В результате получим :
Здесь:
, 
, (4.1)
, 
. (4.2)
Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:
m=1,
U(t, x) 
. (5)
Выше приведенная оценка не отражает качественной картины и может быть использована при дальнейших исследованиях задач подобного вида. ( т .к .
фиксированно)
Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).
пусть 
(т.е. 
финитна), в соответствии с принципом максимума:
, (3’)
при 
где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:
Аналогично, как и выше
здесь:
Таким образом,
(используем разложение в ряд Тейлора)
В итоге,
(5.1)
Рассмотрим два случая:
а) Пусть 
,
тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к нулю быстрее любой степени 
,
поэтому (5.1) можно переписать как:
(5.2)
б) Пусть 
тогда:
где 
В результате получаем:
(5.3)
2.3. Выбор интервала (
) и оценка
погрешности
Зададим произвольно некоторую константу 
>0, потребовав чтобы в (5)
<
.
при 
.
Неравенство (5) можно только усилить, если
< 
(6)
Рассмотрим общий вид 
:
; (7)
, (7.1)
b=x ( k=1 ) , b=2
(k=2) 
оценка (7.1) эквивалентна системе неравенств:
,
откуда:
. (8)
Т. к. в работе исследуется поведение неравенства (3) при 
то принимаем что для некоторого 
:
. (9)
3. Формулировка результата в виде теоремы
Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие теоремы:
1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача
(З)
- гладкая, непрерывно - дифференцируемая
функция на 
,а функция 
ограничена
на R : 
.
Тогда для любого сколь малого числа 
можно указать число
,
такое что имеет место следующая оценка “сверху” решения задачи (З):
Раскрыв квадратные скобки, получим:
.
2.Пусть в имеет место задача (З), 
-
монотонная, неограниченная, возрастающая функция, 
тогда:
- если
, то
2) если 
то
Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить и при более слабых ограничениях 
4. Примеры
Пусть 
, 
Заключение
В дипломной работе произведена оценка решения “сверху” для уравнения теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно получить оценку решения “снизу”. Для этого нужно рассмотреть ступенчатую область, в которой для каждой ступеньки решение может быть получено согласно 2.1 (2) . Число таких ступенчатых областей необходимо выбрать таким образом, чтобы оценка полученная снизу была сравнима с полученной выше оценкой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд. “Наука”, М. 1966 (с. 230 -233);
- С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. “Наука”, М. 1973 . 33-34);
- Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. “Наука”, М. 1989.
Дата добавления: 24.04.2001
