Функция и ее свойства

Русская гимназия











????????

на тему:

???????

        ????????

?????? 10"?" ??????

?????????? ??????

        ????????????

        ??????? ??????????

        ????? ?.?.

Нижний Новгород
1997 год
Функция и её свойства

1. Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

2. Переменная х- независимая переменная или аргумент.

3. Переменная у- зависимая переменная
   
4. Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.
   1. Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
      1. Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

   2. Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
      
   3. Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
      
   4. Возрастающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)
      
   5. Убывающая функция- если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)
      
   6. 
      
   7. Способы задания функции
      

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Виды функций и их свойства

1. Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
   

2)        Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к№0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

1. Cвойства функции y=kx:
   
2. Область определения функции- множество всех действительных чисел
   
3. y=kx - нечетная функция
   
4. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
   
5. 
   
6. 3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

7. Свойства функции y=kx+b:
   
8. Область определения- множество всех действительных чисел
   
9. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

10. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
    

Графиком функции является прямая.

1. 4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k№0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

2. Свойства функции y=k/x:
   
3. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
   
4. y=k/x- нечетная функция
   
5. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+Ґ) и на промежутке (-Ґ;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-Ґ;0) и на промежутке (0;+Ґ).

Графиком функции является гипербола.

1. 5)Функция y=x²
   
2. Свойства функции y=x²:
   
3. Область определения- вся числовая прямая
   
4. y=x² - четная функция
   
5. На промежутке [0;+Ґ) функция возрастает

6. На промежутке (-Ґ;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x³
Свойства функции y=x³:

1. Область определения- вся числовая прямая
   
2. y=x³ -нечетная функция
   
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
   

Графиком функции является кубическая парабола

1. 7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xⁿ, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x²; y=x³. Их свойства рассмотрены выше.

2. Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x². График функции напоминает параболу y=x², только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем "теснее прижимаются" к оси Х, чем больше n.

3. Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y=xⁿ обладает теми же свойствами, что и функция y=x³. График функции напоминает кубическую параболу.

4. 8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y=x^-n, где n- натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.

		Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
		Пусть n- четное число, например n=2.

Свойства функции y=x^-2:

Функция определена при всех x№0

y=x^-2 - четная функция

Функция убывает на (0;+Ґ) и возрастает на (-Ґ;0).

Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=Цх

Свойства функции y=Цх:

Область определения - луч [0;+Ґ).

Функция y=Цх - общего вида

Функция возрастает на луче [0;+Ґ).

10)Функция y=³Цх
Свойства функции y=³Цх:

1. Область определения- вся числовая прямая
   
2. Функция y=³Цх нечетна.

3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=ⁿЦх

1. При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Цх. При нечетном n функция y=ⁿЦх обладает теми же свойствами, что и функция y=³Цх.
   
2. 
   
3. 
   
4. 
   
5. 12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y=x^r, где r- положительная несократимая дробь.

6. Свойства функции y=x^r:
   
7. Область определения- луч [0;+Ґ).

8. Функция общего вида
   
9. Функция возрастает на [0;+Ґ).

10. рисунке изображен график функции y=x^5/2. Он заключен между графиками функций y=x² и y=x³, заданных на промежутке [0;+Ґ).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x^r, где r>1.

        На рисунке изображен график функции y=x^2/3. Подобный вид имеет график любой степенной функции y=x^r , где 0<r<1

1. 13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция, заданная формулой y=x^-r, где r- положительная несократимая дробь.

2. Свойства функции y=x^-r:
   
3. Обл. определения -промежуток (0;+Ґ)
   
4. Функция общего вида
   
5. Функция убывает на (0;+Ґ)
   

14)Обратная функция

1. Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения y_o уравнение f(x)=y_o имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

		Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
		Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.

15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.

Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.

Дата добавления: 23.10.2000