• Новости
  • Темы
    • Экономика
    • Здоровье
    • Авто
    • Наука и техника
    • Недвижимость
    • Туризм
    • Спорт
    • Кино
    • Музыка
    • Стиль
  • Спецпроекты
  • Телевидение
  • Знания
    • Энциклопедия
    • Библия
    • Коран
    • История
    • Книги
    • Наука
    • Детям
    • КМ школа
    • Школьный клуб
    • Рефераты
    • Праздники
    • Гороскопы
    • Рецепты
  • Сервисы
    • Погода
    • Курсы валют
    • ТВ-программа
    • Перевод единиц
    • Таблица Менделеева
    • Разница во времени
Ограничение по возрасту 12
KM.RU
Рефераты
Главная → Рефераты → Математика, физика, астрономия
  • Новости
  • В России
  • В мире
  • Экономика
  • Наука и техника
  • Недвижимость
  • Авто
  • Туризм
  • Здоровье
  • Спорт
  • Музыка
  • Кино
  • Стиль
  • Телевидение
  • Спецпроекты
  • Книги
  • Telegram-канал

Поиск по рефератам и авторским статьям

Вынужденные колебания

 

Реферат

На тему «Вынужденные колебания»

Студента I –го курса гр. 107

Шлыковича Сергея

Минск 2001

Вначале рассмотрим затухающие колебания.

Во всякой реальной колебательной системе всег­да имеется сила трения (для механической систе­мы), или электрическое сопротивление (для колебательного контура), действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль этой энергии не восполняется, то  колебания будут затухать.

      Рассмотрим механические колебания. В большинстве случаев сила трения пропорциональна скорости.

. (1.1)

Где r — постоянная, которая называется коэффициентом трения. Знак минус обуслов­лен тем, что сила F и скорость v направлены в про­тивоположные стороны.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы трения имеет вид

. (1.2)

Применим следующие обозначения

,  (1.3)

Тогда

  (1.4)

Где щ0 — собственная частота коле­бательной системы.

Будем искать решение уравнения в виде

(1.5)

Найдём первую и вторую производные

Подставим выражения   в уравнение (1.5)

Сократим на

 (1.6)

Решение уравнения (1.6) зависит от знака коэф­фициента, стоящего при и. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен (т. е. b<щ0 — тре­ние мало). Введя обозначение , придем к уравнению

Решением этого уравнения будет функция  

Подставляя это выражение в уравнение (1.5), имеем

(1.7)

Здесь A0 и б — постоянные, значения которых зави­сят от начальных условий, щ — величина, определяе­мая формулой

.

Скорость затухания колебаний определяется ве­личиной , которую называют коэффи­циентом затухания.

Для характеристики колебательной системы употребляется также величина

называемая добротностью колебательной си­стемы. Она пропорциональна числу колебаний Ne , совершаемых системой за то время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Вынужденные колебания.

Допустим, что механическая колебательная система подвергается действию внешней силы, изме­няющейся со временем по гармоническому закону:

 (2.1)

В этом случае уравнение   второго   закона Ньютона имеет вид

Введя   обозначения   (1.3),   преобразуем   уравнение приобретёт вид:

 (2.2)

Здесь b — коэффициент затухания, щ0 — собственная частота колебательной системы,       щ — частота выну­ждающей силы.

Дифференциальное уравнение (2.2) описывает вынужденные колебания. Решение этого уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения уже найдено (1.7), оно имеет вид

(2.3)

Где .

Попробуем найти частное решение (2.2) в виде   (2.4)

где  — неизвестный пока сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями.

       (2.5)

     (2.6)

Развернем  и  по формулам для синуса и косинуса разности и подставим в формулу (2.2) :

Сгруппируем члены уравнения:

(2.7)

Уравнение (2.7) будет тождественно при любых значениях t тогда, когда коэффициенты при cosщt и sinщt в обеих частях уравнения будут оди­наковыми.

   (2.8)

      (2.9)

Найдём значения A и  при которых функция (2.4) удовлетворяет уравне­нию (2.2). Для этого возведём равенства (2.8) и (2.9) в квадрат и сложим их друг с другом

      (2.10)

Из (2.9) следует, что

    (2.11)

Подставим значения A и в (2.4) и получим частное решение неоднородного уравнения (2.2):

       (2.12)

Общее решение имеет вид

Первое слагаемое  играет за­метную роль только в начальной стадии процесса, при установлении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального множителя  роль слагаемого уменьшается, и по прошест­вии достаточного времени им можно пренебречь, со­хранив в решении только второе.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (2.10) приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда достигает максимального значения. Колебательная система оказы­вается особенно отзывчивой на действие вынуждаю­щей силы при данной частоте. Это явление называет­ся резонансом, а соответствующая частота — резонансной частотой.

Для того чтобы определить резонансную частоту щрез, нуж­но найти максимум функции (2.10), т.е. продифференцировать это выражение по щ и приравняв производную нулю:

Решения этого уравнения щ=0 и , но два из них исключаются, т.к. решение, равное нулю, соответст­вует максимуму знаменателя, а  не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной).

  (2.13).  Следовательно          (2.14)

Зависимость амплиту­ды вынужденных колеба­ний от частоты ко­лебаний показана графически на рисунке слева. Кривые на графике соответствуют различным значениям параметра b. Чем меньше b, тем выше и правее лежит максимум резонансной кривой. При очень большом затухании   (таком, что b2 > щ0) выражение для ре­зонансной частоты становится мнимым. Это означает, что   резонанс   в   этом   случае   не   наблюдается — с увеличением частоты амплитуда монотонно убывает.

Изображенная на рисунке совокупность графиков функции (2.10) называется резонансными кривыми.

Согласно формуле (2.14) при малом затухании (т. е. при b<<щ0) амплитуда при резонансе

Если разделить это выражение на смещение x0 из положе­ния равновесия под действием постоянной силы F0, равное . В результате получим, что

где - логарифмический декремент затухания.

Следовательно, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резо­нансе превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы, модуль которой равен амплитуде вынуждающей силы (это справедливо лишь при небольшом затухании).

Литература:

И. В Савельев “Курс общей физики”.

P.S.

Данная лит-ра использовалась также при написании реферата на тему «Сложение колебаний».

Дата добавления: 23.10.2001

База рефератов на портале KM.RU существует с 1999 года. Она пополнялась не только готовыми рефератами, докладами, курсовыми, но и авторскими публикациями, чтобы учащиеся могли использовать их и цитировать при самостоятельном написании работ.


Это популяризирует авторские исследования и научные изыскания, что и является целью работы истинного ученого или публициста. Таким образом, наша база - электронная библиотека, созданная в помощь студентам и школьникам.


Уважаемые авторы! Если Вы все же возражаете против размещения Вашей публикации или хотите внести коррективы, напишите нам на почту info@corp.km.ru, мы незамедлительно выполним Вашу просьбу или требование.


официальный сайт © ООО «КМ онлайн», 1999-2025 О проекте ·Все проекты ·Выходные данные ·Контакты ·Реклама
]]>
]]>
Сетевое издание KM.RU. Свидетельство о регистрации Эл № ФС 77 – 41842.
Мнения авторов опубликованных материалов могут не совпадать с позицией редакции.

Мультипортал KM.RU: актуальные новости, авторские материалы, блоги и комментарии, фото- и видеорепортажи, почта, энциклопедии, погода, доллар, евро, рефераты, телепрограмма, развлечения.

Карта сайта


Подписывайтесь на наш Telegram-канал и будьте в курсе последних событий.


Организации, запрещенные на территории Российской Федерации
Telegram Logo

Используя наш cайт, Вы даете согласие на обработку файлов cookie. Если Вы не хотите, чтобы Ваши данные обрабатывались, необходимо установить специальные настройки в браузере или покинуть сайт.